Artykuł poświęcony jest własnościom równoległego obwodu rezonansowego, który jest podstawowym ogniwem filtrującym i sprzęgającym w układach odbiorczych i nadawczych wielkiej częstotliwości. Podane są podstawowe zależności teoretyczne, wzory obliczeniowe i przykłady.

Rezonans.

Równoległy obwód rezonansowy składa się z indukcyjności L i pojemności C. Gdy obwód jest w rezonansie, reaktancja indukcyjności Xl i pojemności Xc są sobie równe:

(1)

Stąd można wyprowadzić wzór na pulsację rezonansową ω_o i częstotliwość rezonansową f_o:

, (2, 3, 4)

Wartości L i C wyliczamy ze wzorów:

(5, 6)

Lub ze wzorów praktycznych:

(7,8)

Warunek rezonansu na danej częstotliwości spełnia teoretycznie nieograniczona liczba kombinacji wartości L i C. W praktyce wartości L i C ściśle zależą od wymaganej selektywności obwodu, rezystancji obciążenia i zakresu przestrajania.

Dobroć.

Bezstratny obwód w rezonansie, miałby nieskończoną rezystancję równoległą. Obwody rzeczywiste są stratne. Straty w obwodzie reprezentuje pokazana na rysunku rezystancja Ro. W rezonansie, dla prądu zmiennego w.cz. obwód stanowi rezystancję o wartości Ro.

Straty powstają w elementach L i C ale przede wszystkim w indukcyjności. Miarą stratności jest dobroć własna obwodu Qo, która w praktyce równa jest na ogół dobroci samej cewki. Wielkości Qo i Ro powiązane sa zależnością:

(9)

Dobroć obwodu jest ilorazem rezystancji tego obwodu w rezonansie i reaktancji indukcyjności (lub równej jej reaktancji pojemności). Dobroć samej cewki wyraża się tak samo ilorazem równoległej rezystancji strat cewki i jej reaktancji. Schemat zastepczy indukcyjności stratnej to równoległe połączenie indukcyjności L i rezystancji Ro.

W układach praktycznych, obwody LC pracują zawsze z obciążeniem, które wpływa na ich dobroć. Dobroć obwodu obciążonego to dobroć robocza Q, która jest zawsze mniejsza od dobroci własnej Qo.

(10)

Rezystancja Rw jest wypadkową rezystancji własnej obwodu i rezystancji obciążenia.

(11)

Selektywność.

Pasmo przenoszenia B₃ (na poziomie -3dB) jest związane w następujący sposób z dobrocią obwodu Q:

(12)

Im większa jest dobroć obwodu, tym mniejsze jest pasmo przenoszenia czyli większa selektywność. W praktyce nie możemy niestety dowolnie zwiększać dobroci roboczej, bo spada wtedy sprawność obwodu.

Przy odstrojeniu od częstotliwości rezonansowej tłumienie obwodu rośnie. Tłumienie wyraża się wzorem:

(13)

Dla odstrojeń większych od 3B₃ możemy stosować wzór uproszczony:

(14)

Wzory (13) i (14) podają tłumienie względne. Całkowite tłumienie obwodu będzie większe o wartość tłumienia własnego wynikającego ze stratności obwodu.

Indukcyjność optymalna.

Indukcyjność optymalną wyliczamy pod kątem uzyskania określonego pasma obwodu, obciążonego znaną rezystancją, na zadanej częstotliwości, ze wzoru (10).

(15)

Rezystancja Rw we wzorze (15) jest wypadkową rezystancji własnej obwodu Ro i rezystancji obciążenia R. W praktyce wychodzimy od dobroci własnej Qo (równej w zasadzie dobroci samej cewki) i rezystancji obciążenia zewnętrznego R:

(16)

Przy dużej wartości dobroci własnej w stosunku do dobroci roboczej powyższy wzór można uprościć do postaci:

(17)

Z powyższych wzorów wynika, że przy stałej rezystancji obciążenia dobroć (i selektywność) obwodu będzie się zwiększać, gdy będziemy zmniejszać indukcyjność. Można to określić inaczej; obwody o małym stosunku L/C są bardziej selektywne.

Przykład 1:

Potrzebny jest obwód LC o częstotliwości rezonansowej fo=3,65MHz, paśmie przenoszenia B₃=365kHz i pracujący z obciążeniem R=5kom. Dobroć cewki Qo=200.

Dobroć robocza Q = 3,65 / 0,365 = 10 (12)

Pulsacja wo = 2*3,14*3,65*10⁶ = 22,92*10⁶ (2)

Przy znacznej wartości Qo możemy zastosować wzór uproszczony:

Indukcyjność L = 5000 / (22,92*10⁶*10) = 21,8*10^-6 [H] = 21,8[uH] (17)

Pojemność C = 1 / (22,92*10⁶ )² / (21,8*10^-6) = 87,3*10^-12 [F] = 87,3 [pF] (6)

Tłumienie obwodu: Ao = 1/(1-10/200) = 1,05 [V/V] (0,42dB) (22)

Tłumienie (7MHz) A = 1,05 * 10 (7/3,65-3,65/7) = 14,7 (23,3dB) (14)

Jeżeli spróbujemy uzyskać węższe pasmo np. B₃=36,5khz obliczenia będą następujące:

Dobroć robocza Q = 3,65 / 0,0365 = 100 (12)

Indukcyjność L = 5000 / (22,92*10⁶*100) = 2,18*10^-6 [H] = 2,18[uH] (17)

Pojemność C = 1 / (22,92*10⁶ )² / (2,18*10^-6) = 873*10^-12 [F] = 873 [pF] (6)

Tłumienie obwodu: Ao = 1/(1-100/200) = 2 [V/V] (6dB) (22)

Tłumienie (7MHz) A = 2 * 100 (7/3,65-3,65/7) = 279 (48,9 dB) (14)

Dopasowanie

Dopasowanie optymalne polega na zapewnieniu identycznych rezystancji źródła sygnału i obciążenia. Jeśli łączone układy maja różne wartości rezystancji trzeba stosować transformację. Obwody rezonansowe w układach wielkiej częstotliwości są idealne do tego celu. Odpowiednio zaprojektowane zapewniają transformację rezystancji, kompensację pojemności pasożytniczych i zarazem niezbędną selektywność. Dopasowujemy oczywiście nie obwody rezonansowe tylko elementy układu za pomocą obwodów rezonansowych.

Pokazany na rysunku obwód rezonansowy jest obciążony z jednej strony rezystancją generatora Rg, a zdrugiej rezystancją obciążenia Rl. Wartości Rl i Rg nie są sobie równe. Dzięki zastosowaniu transformacji przez odczep na cewce obwód rezonansowy „widzi” przetransformowaną wartość rezystancji generatora Rg' (schemat zastępczy po prawej).

Rg<Rl Rg'=Rl (18)

Dopasowanie będzie optymalne, kiedy wartości Rg' i Rl będą sobie równe (wpływ rezystancji Ro dla uproszczenia pomijamy). Wtedy na obciążeniu wydzieli sie największa moc.

Wypadkowa rezystancja obciążająca obwód rezonansowy:

(19)

Dla dopasowania optymalnego będzie to po prostu:

(20)

Ta wartość R powinna być użyta do obliczenia indukcyjności L ze wzoru (17).

Transformacja rezystancji może być zastosowana po jednej stronie (generatora) lub po obu stronach, czyli generatora i obciążenia.

Realizacja transformacji może być różna: przez odczep cewki, uzwojenie sprzęgające lub dzielniki pojemnościowe. Każdy ze sposobów ma wady i zalety:

Uzwojenie sprzęgające - łatwy dobór transformacji przez zmianę liczby zwojów, możliwość dołączania obciążeń niesymetrycznych i symetrycznych, dobre tłumienie sygnałów odległych od fo, odporność na zakłócenia, separacja galwaniczna.

Odczep - łatwy dobór transformacji przez zmianę liczby zwojów, w cewkach powietrznych możliwość realizacji ułamkowych ilości zwojów (0.33zw., 2.5zw, itp.). Brak separacji galwanicznej, gorsza filtracja poza pasmem.

Sprzężenie pojemnościowe „górne” - dowolność współczynnika transformacji, możliwość osobnej regulacji rezonansu i sprzężenia trymerami, powszechnie stosowane w filtrach wieloobwodowych.

Dzielnik pojemnościowy - dowolność współczynnika transformacji, utrudniony eksperymentalny dobór sprzężenia, stosowany raczej w obwodach strojonych indukcyjnie.

Sprawność i tłumienie.

Rzeczywiste obwody rezonansowe są stratne. Jeśli taki obwód znajduje się na wejściu wzmacniacza, to część mocy sygnału wydziela się na rezystancji wejściowej wzmacniacza R (i o to chodzi), a część wytraci się w obwodzie rezonansowym, w rezystancji Ro, która reprezentuje jego stratność. Trzeba więc zapewnić jak największą wartość Ro w stosunku do R, bo wtedy obwód najmniej bocznikuje wejście wzmacniacza.

(21)

Z tej zależności wynika, że dobroć robocza powinna być jak najmniejsza w stosunku do dobroci własnej. Uzyskujemy wtedy najmniejsze tłumienie obwodu. Przy dopasowaniu optymalnym, w rezonansie, wynosi ono:

(22)

Sprawność obwodu dopasowanego optymalnie jest kwadratem odwrotności tłumienia:

(23)

Niestety, obniżanie dobroci roboczej dla zmniejszenia tłumienia powoduje poszerzenie pasma, czyli pogorszenie właściwości filtracyjnych. Dostateczną filtrację z małym tłumieniem realizujemy wobec tego (najczęściej) stosując wieloogniwowe filtry o niskiej dobroci roboczej lub pojedyncze obwody o bardzo dużej dobroci, trudne jednak do wykonania .

Z powyższych powodów filtry wyjściowe nadajników mają dobroć roboczą rzędu 3-10. W odbiornikach, gdzie zależy nam na dużej selektywności dopuszczamy większe dobroci, bo straty łatwiej skompensować dodatkowym wzmocnieniem.

Praktyczne podejście do projektowania obwodów.

Przystępując do projektowania obwodu rezonansowego musimy mieć następujące dane:

-czętotliwość pracy

-pasmo przenoszenia

-rezystancja źródła sygnału (n.p. antena 50om)

-rezystancja obciążenia obwodu (n.p. rezystancja wejściowa wzmacniacza, mieszacza)

-pojemności własne źródła i obciążenia

-dobroć własna cewki (z tabel producenta).

Kolejność postępowania:

1. Obliczyć dobroć roboczą Q.

2. Obliczyć indukcyjność optymalną L i pojemność rezonansową C - ocenić, czy są to wartości realne:

- cewki o skrajnie małych lub dużych indukcyjnościach przy wybranym typie rdzenia mogą mieć obniżoną dobroć własną,

- znikoma indukcyjność (mała liczba zwojów) utrudni dobór odczepu lub uzwojenia sprzęgającego,

- cewki o dużej indukcyjności i liczbie zwojów mają większe pojemności pasozytnicze,

- znikoma pojemność rezonansowa grozi zwiększonym wpływem pojemności własnych źródła i obciążenia, co zmniejsza stabilność obwodu. Pojemności zewnętrzne nie powinny przekraczać 10% obliczonej pojemności rezonansowej.

- duża pojemność rezonansowa może uniemożliwić strojenie w zadanym paśmie, a stabilne kondensatory o dużych pojemnościach są trudne do zdobycia.

Jeśli wartości L i C nie będą dogodne do realizacji, to trzeba przewidzieć transformację rezystancji generatora i(lub) obciążenia i dla nowej rezystancji obciążenia obwodu powtórzyć obliczenia L i C.

3. Obliczyć sprawność obwodu (szczególnie ważne w torze nadawczym). Jeżeli sprawność będzie zbyt mała trzeba przewidzieć zastosowanie większej liczby ogniw LC dla uzyskania zadanej selektywności.

4. Uwzględnić pojemności pasożytnicze. Od obliczonej wartości pojemności obwodu trzeba odjąć pojemność własną dołączonego obciążenia.

5. Wybrać sposób transformacji rezystancji dołączonych do obwodu. Źródło i obciążenie mogą być dołączone na różny sposób np. antena przez uzwojenie sprzęgające a wzmacniacz wejściowy do odczepu cewki.

Przykład 2:

Zaprojektować wejściowy obwód wejściowy LC do wzmacniacza FET ze wspólną bramką. Impedancja anteny Rg=50om, rezystancja wejściowa wzmacniacza Ri=200om, częstotliwość robocza fo=3,65MHz, pasmo przenoszenia B=365kHz. Dobroć cewki Qo=100.

Wariant I:

Pulsacja w_o = 2*3,14*3,65*10⁶ = 22,92*10⁶ (4)

Dobroć robocza Q = 3,65 / 0,365 = 10 (12)

Z warunku dopasowania wynika, że rezystancja anteny musi być przetransformowana do wartości 200om (18).

Rezystancja obciążenia obwodu: R=200*200/(200+200)=100om (19)

Indukcyjność L = 100 / (22,92*10⁶ *100)*(100/10-1) = 0,39*10^-6 [H] = 0,39[uH] (17)

Pojemność C = 1 / (22,92*10⁶ )² / 0,39 * 10^-6 = 4,88*10^-9 [F] = 4,88 [nF] (6)

Tłumienie obwodu: η=1/(1-10/100) = 1,11 (0,9dB) (22)

Transformacja rezystancji może być najprościej zrealizowana przez użycie cewki z odczepem. Współczynnik transformacji k=200/50=4 uzyskamy umieszczając odczep w połowie uzwojenia cewki. Stosunek liczby zwojów n=2 daje nam transformację rezystancji w stosunku k=n²=4.

Wariant II.

Obliczone wartości L i C w „Wariancie I” nie są dogodne do realizacji. Trzeba zastosować transformację rezystancji wejściowej wzmacniacza, aby uzyskać większą rezystancję obciążenia obwodu, co pozwoli zwiększyć indukcyjność i zmniejszyć pojemność. Jeśli dołączymy generator w 1/8 długości cewki, a tranzystor w 1/4 jej długości to zastępcze rezystancje widziane na obwodzie rezonansowym wyniosą Rg'=Ri'=3200om.Wówczas:

Rezystancja obciążenia obwodu:R=3200*3200/(3200+3200)=1600om (19)

Indukcyjność L = 1600 / (22,92*10⁶ *100)*(100/10-1) = 0,39*10^-6 [H] = 6,24[uH] (17)

Pojemność C = 1 / (22,92*10⁶ )² / 6,24 * 10^-6 = 305*10^-12 [F] = 305 [pF] (6)

Marcin Świetliński, SP5JNW, 01.2006.

Literatura:

[1] Kurzwellenempfanger, D.Lechner, Militarverlag, Berlin 1985,

[2] Sprawocznik Radiolubitiela Korotkowołnika, S.G.Bunin, Ł.P.Jailenko, Technika, Kiew 1984.